Система

Все позиционные системы счисления являются равноправными, но в зависимости от тех задач, которые решает человек с использованием чисел он может применять системы счисления с разными основаниями. Наиболее часто используется десятичная система счисления, т.е. система счисления, алфавит которой состоит из десяти цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) и соответственно основание равно десяти. Широкое применение этой системы счисления легко объяснимо. Во-первых, запись числа в десятичной системе счисления достаточно компактна, во-вторых, десятичная система счисления используется человечеством на протяжении уже нескольких веков. За это время люди уже привыкли и к цифрам, и к записи чисел, и к произношению чисел в десятичной системе счисления, например, запись «15» понятна любому человеку и он ее прочитает как пятнадцать, но то же самое число записанное в двоичной системе счисления «1111», вызывает, по крайней мере, легкое недоумение, а как же прочитать это число. И все же однозначно утверждать, что десятичная система счисления является оптимальным выбором человечества для работы с числами нельзя. Докажем это несколькими примерами. Все вы помните таблицу умножения и конечно же помните сколько усилий вам пришлось приложить, что бы выучить эту таблицу. Не будем приводить здесь таблицу умножения в десятичной системе счисления, но для сравнения приведем таблицу умножения в двоичной системе счисления: 10=0 01=0 00=0 11=1 Как видите, таблица умножения в двоичной системе счисления выглядит значительно проще, чем в десятичной. Компактность записи чисел в десятичной системе счисления, то же не самая высокая, во всех системах счисления с основанием больше десяти числа будут записываться более компактно, например, тоже число «15», в шестнадцатеричной системе счисления запишется как «F». Как уже говорилось в параграфе 5, для записи чисел в ЭВМ принята двоичная система счисления. В этом параграфе мы должны разобраться, а как же представляются числа в памяти ЭВМ, для этого будет достаточно понять правила перевода десятичных чисел в двоичную систему счисления. На практике, для перевода чисел из системы счисления с основание десять в систему счисления с основанием два, пользуются следующим правилом: 1. Число, записанное в системе счисления с основанием десять, делится с остатком на два (основание новой системы счисления), записанное цифрами системы счисления с основанием десять (старой системы счисления), до тех пор, пока в частном не получится 0. 2. Остатки, полученные от деления, записанные в обратном порядке, образуют число в новой системе счисления с основанием два. Данным правилом удобнее пользоваться для перевода чисел из десятичной системы счисления. Для обратного перевода, в десятичную систему счисления удобнее использовать так называемую схему Горнера. 1. Пронумеровать позиции в числе, справа на лево, начиная с нулевой; 2. Составить ряд, представляющий собой сумму произведений цифр числа на основание старой системы счисления, записанное цифрами новой системы счисления, возведенное в степень равную номеру позиции цифры в числе; 3. Найти сумму ряда. Разберем данные правила на конкретных примерах. Пример 1: Записать десятичное число 121 в двоичной системе счисления. 121 \| 2 121_D=1111001_B 120 60 \| 2 1 60 30 \| 2 0 30 15 \| 2 0 14 7 \| 2 1 6 3 \| 2 1 2 1 \| 2 1 0 0 1
В данном примере вы, наверное, обратили внимание на то, что рядом с числами стоят буквенные индексы, которые служат для того, что бы можно было отличать числа, записанные в различных системах счисления. Индекс D – обозначает десятичную систему счисления, В – двоичную систему счисления (от английского Вinary – двоичный). Забегая немного вперед отметим, что индексом О – обозначается восьмеричная система счисления, а индексом Н – шестнадцатеричная система счисления. Договоримся так же, что если при записи числа не указан индекс, обозначающий систему счисления, и если иное не оговорено в условии задачи, то значит это число записано в десятичной системе счисления. Пример 2: Двоичное число 1111001 записать в десятичной системе счисления. Для решения этого примера воспользуемся правилом, которое у нас обозначено как схема Горнера. 1⁶1⁵1⁴1³0²0¹1⁰=12⁶+12⁵+12⁴+12³ +02²+02¹+1*2⁰ =64+32+16+8+0+0+1=121 Таким образом: 1111001_B=121_D Как вы поняли из примера 2, данную процедуру можно использовать для проверки правильности перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную. В заключении приведем таблицу некоторых степеней двойки. 2⁰=1 2⁹=512 2¹=2 2¹⁰=1024 2²=4 2¹¹=2048 2³=8 2¹²=4096 2⁴=16 2¹³=8192 2⁵=32 2¹⁴=16384 2⁶=64 2¹⁵=32768 2⁷=128 2¹⁶=65536 2⁸=256



Предыдущая	Содержание	Следующая



Центр компьютерного обучения © 2001 - 2020 г.