|
История развития систем счисления.
Современный человек в повседневной жизни окружен
огромным количеством самой разнообразной информации, не
малая доля которой приходится на числовую информацию.
Действительно, мы запоминаем номера телефонов,
подсчитываем стоимость покупок, ведем счет школьным
урокам и их продолжительности и т.д.. Историки доказали,
что и в глубокой древности люди могли записывать числа,
производили над ними различные арифметические действия,
но записывались числа совершенно по другим принципам,
чем мы это делаем сегодня.
Что же такое число? Первоначально понятие числа было
«привязано» к предметам, которые пересчитывали. С
развитием письменности появляется отвлеченное понятие
натурального числа. Необходимость производить измерения,
т.е. сравнение с другой величиной того же рода,
выбранной в качестве эталона, привело к появлению
дробных чисел. Дальнейшее развитие понятия числа было
связано непосредственно с развитием математики. Сегодня
число это фундаментальное понятие математики и
информатики, под которым понимают его величину, а не
символьную запись. Условные знаки, применяемые для
обозначения чисел, называют цифрами.
Совокупность приемов наименования и записи чисел
называется счислением.
Системой счисления называют способы записи чисел и
правила действий над числами.
Первые упоминания о системах счисления можно отнести к
10 – 11 тысячелетию до н.э.. При раскопках культурных
слоев относящихся к этому периоду, археологи обнаружили
записи в виде последовательности черточек – палочек.
Ученые считают, что таким образом записывались числа и
количество палочек, записанных в строку, равно значению
числа. Такая система счисления была названа
единичной (палочной). Дальнейшее развитие счета
привело к усовершенствованию и развитию систем
счисления. За свою историю человечество использовало
различные системы счисления и многие свидетельства этому
дошли до наших дней. Например, тот факт, что в часу 60
минут и в минуте 60 секунд свидетельствует о том, что
когда-то, люди использовали шестидесятеричную
систему счисления. Действительно, археологи обнаружили,
при раскопках на месте древней Вавилонской цивилизации
следы использования такой системы счисления. Двенадцать
месяцев в году и двенадцать делений на циферблате часов,
свидетельствуют о том, что вероятнее всего, когда-то
использовалась и двенадцатеричная система
счисления.
В древней Руси была принята так называемая
алфавитная система счисления, в которой цифры
обозначались буквами кириллицы со специальным знаком,
который назывался титло и служил для того, чтобы
цифры отличать от букв.
Современная десятичная система счисления возникла в
Индии приблизительно в V в.
н.э., возникновение этой системы стало возможным после
того, как для обозначения отсутствующей величины стали
использовать цифру «0».
Позиционные и непозиционные системы счисления.
Системы счисления, в которых числа записывают как
последовательность цифр, можно разбить на два класса:
позиционные и непозиционные. В непозиционных системах
значения цифр не изменяются при изменении их положения в
последовательности. В качестве примера непозиционной
системы приведем известную всем римскую систему
счисления. В римской системе счисления символ Х на любом
месте равен 10, но в записи слева от старшего (например,
ХС) символ х равен –10, а в сочетании перед младшим
(например, XV) равен +10. В
непозиционных системах счисления действия над числами
связаны с большими трудностями и не имеют правил. В этих
системах нельзя выразить отрицательные и дробные числа,
поэтому непозиционные системы имеют ограниченное
применение. В основном их используют для наименования
дат, томов, глав и т.д.
Напротив, в позиционных системах счисления
количественное значение цифры в числе зависит от ее
позиции.
Дадим определения основным, наиболее важным, понятиям
позиционных систем счисления, к которым относятся
основание, алфавит и базис систем счисления
Основание системы счисления показывает, во
сколько раз изменяется количественное значение цифры при
перемещении на соседнюю позицию, и какое число
различных знаков (цифр) входит в так называемый алфавит
системы счисления.
Алфавитом системы счисления называется набор
символов (цифр), используемых в позиционной системе
счисления для записи чисел. Так алфавиты рассматриваемых
в дальнейшем систем счисления следующие:
Двоичная: 0,1.
Восьмеричная: 0,1,2,3,4,5,6,7.
Десятичная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Шестнадцатеричная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D,E,F.
Базисом позиционной системы счисления называется
последовательность чисел, каждое из которых задает
значение цифры по позиции. Другими словами можно
сказать, что базис системы счисления составляют числа,
являющиеся последовательными степенями основания системы
счисления.
Основанием системы счисления может быть любое
натуральное число ≥ 2. Одним из примеров позиционной
системы счисления является десятичная система, широко
используемая в жизни. В качестве десятичных цифр
применяются арабские цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 –
являющиеся алфавитом десятичной системы счисления.
Основание системы счисления равно 10, это говорит о том,
что значения цифр стоящих в соседних позициях отличаются
в десять раз, а также то, что в алфавите 10 знаков цифр.
Базис десятичной системы счисления составляют числа: 1,
10, 100, 1000, 10000 … 10n,
это означает, что цифра стоящая в нулевой позиции несет
вклад – единицы, цифра стоящая в первой позиции несет
вклад – десятки, цифра стоящая во второй позиции несет
вклад – сотни и т.д..
В качестве примера рассмотрим число 5555, записанное в
привычной для Вас, системе счисления с основанием равным
10.
53525150 =
5000+500+50+5
Как видно из примера 5 стоящая в 0-й позиции несет вклад
равный 5 единицам, 5 стоящая на 1-й позиции несет вклад
равный 5 десяткам, 5 стоящая на 2-й позиции несет вклад
равный 5 сотням, 5 стоящая на 3-й позиции несет вклад
равный 5 тысячам.
В любой позиционной системе счисления с основанием
больше 1 число записывается в виде последовательностей
цифр, разделенных запятой на две последовательности
Позиции, расположенные левее запятой
пронумерованы справа налево числами 0, 1, 2, …, а справа
от запятой пронумерованы подряд слева направо -1, -2,
-3 и т. д. Пронумерованные позиции называются
разрядами.
Последовательность цифр расположенных слева от запятой
называется целой частью числа, а справа от запятой
называется дробной частью.
В современных ЭВМ в настоящее время в основном
используется позиционные системы счисления с
основаниями 2, 8, 16 и 10, хотя были попытки, правда не
совсем успешные, использования и других систем счисления
(например, троичной).
Следует
отметить важную особенность основания системы счисления
– в любой позиционной системе счисления основание
записывается как 10, но оно имеет различное
количественное значение. Например, в двоичной системе
счисления 10 это два, в троичной 10 это три, а в
десятичной 10 это десять. |
