|
Все позиционные системы счисления «одинаковы», а это
означает, что во всех этих системах счисления
·
арифметические операции выполняются по
одним и тем же правилам;
·
справедливы одни и те же законы
арифметики;
·
справедливы правила сложения, вычитания,
умножения и деления столбиком;
·
правила выполнения арифметических операций
опираются на таблицы сложения и умножения в
соответствующей системе счисления.
В данном параграфе мы должны рассмотреть вопросы
выполнения арифметических действий над двоичными
числами, поэтому приведем таблицы сложения и умножения
двоичных чисел.
|
Таблица сложения
|
Таблица умножения
|
|
|
|
Как уже говорилось, двоичные числа ничем не отличаются
от десятичных, но для лучшего усвоения материала
рассмотрим арифметические действия над двоичными числами
на примерах.
Сложение.
Пример 1: Найти сумму двоичных чисел 1001 и 1010
Выполним операцию сложения столбиком.
1001
1010
10011
Пример 2: Найти сумму двоичных чисел 1111 и 11
Выполним операцию сложения столбиком.
1111
11
10010
Из приведенных примеров видно, что при сложении
столбиком двух цифр в двоичной системе счисления, в
следующий разряд может переходить только единица. А
максимальное значение, которое может получиться при
сложении двух чисел в столбик, составит: 11В=3.
Результат сложения двух положительных чисел либо имеет
столько же цифр, сколько и максимальное из двух
слагаемых, либо на одну цифру больше, но этой цифрой
может быть только единица.
Вычитание.
При выполнении операции вычитания всегда из большего
числа вычитается меньшее и у результата ставится
соответствующий знак (плюс или минус).
Пример 3: Найти разность двоичных чисел 1111 и
11. Так как, число 1111 больше чем 11, то выполним
следующее действие
1111-11=1100.
Как видите, операция вычитания так же довольно проста.
В данном примере разностью будет положительным числом,
так как уменьшаемое больше вычитаемого. В следующем
примере рассмотрим случай, когда вычитаемое больше
уменьшаемого.
Пример 4: Найти разность двоичных чисел 1010 и
11111. Так как 1010 меньше чем 11111, то разность можно
записать в виде:
1010-11111= - (11111-1010)=
- 10101
и знак разности изменен на минус.
Как и десятичные числа, двоичные можно вычитать
столбиком. При этом следует помнить, что если при
вычитании столбиком цифра какого-либо разряда
уменьшаемого меньше цифры того же разряда вычитаемого,
то производится «заем» единицы из следующего разряда.
Так как каждая единица следующего разряда равна
основанию системы счисления, то есть двум (в двоичной
системе счисления), то в предыдущий разряд при «займе»
приходит две единицы.
Пример 5: Выполнить вычитание двоичных чисел
столбиком:
1011
111
100
В данном примере в третьем разряде уменьшаемого 0, а в
третьем разряде вычитаемого 1, поэтому происходит «заем»
из четвертого разряда уменьшаемого единицы, при этом в
третий разряд приходит две единицы. Таким образом, в
третьем разряде получаем 2-1, поэтому в частном, в
третьем разряде получаем 1.
Умножение.
Операция умножения выполняется с использованием таблицы
умножения по обычной схеме (принятой в десятичной
системе счисления) с последовательным умножением
множимого на очередную цифру множителя.
Пример 6: Выполнить умножение двоичных чисел 1011
и 101 столбиком.
1011
101
1011
1011
110111
Пример 7: Выполнить умножение двоичных чисел 1011
и 111 столбиком.
1011
111
1011
1011
1011
1001101
Из двух приведенных примеров видно, что операция
умножения двоичных чисел сводится к двум более простым
операциям: сдвигу и сложению. Действительно, в обоих
примерах множимое сначала сдвигается, причем если
очередной разряд множителя равен 1, то сдвиг
осуществляется на один разряд, если очередной разряд
множителя равен 0, то сдвиг осуществляется на два
разряда (пример 6), затем полученные промежуточные
результаты, записанные в столбик с соответствующими
сдвигами, складываются. Обратите внимание на то, что в
примере 7 при вычислении третьей цифры справа
выполняется сложение четырех чисел:
1+0+1+1=11
Первая единица, это перенос из предыдущего разряда.
Полученный результат записывается следующим образом:
правая единица записывается в третий разряд суммы, а
левая единица переходит в следующий разряд.
Если множимое или множитель заканчиваются нулями
(являются четными числами), то умножение на эти нули не
производится, как и в десятичной системе счисления,
просто все эти нули сносятся в результат и приписываются
к результату справа.
Пример 8: Выполнить умножение двоичных чисел
10100 и 1010 столбиком.
10100
1010
101
101
11001000
Деление.
Операция деления в двоичной системе счисления,
аналогична операции деления десятичных чисел. При
делении, так же приходится выполнять промежуточные
действия, таковыми являются умножение и вычитание.
Пример 9: Выполнить деление двоичного числа
11110 на двоичное число 110 в столбик.
11110| 110
110 101
110
110
0
При выполнении первой промежуточной операции вычитания
из числа 111 вычитается 110, в остатке остается 1, далее
из делимого сносится очередная цифра – 1, в результате
получается число 11, но оно меньше 110, поэтому в
частное записывается 0, а в промежуточный результат
сносится очередная цифра – 0. В промежуточном результате
получается число 110, которое без остатка делится на
110.
При выполнении операции деления достаточно часто
встречается ситуация, когда в результате деления
получается дробное число, причем дробь может оказаться
бесконечной. В этом случае деление продолжается либо до
получения заранее заданного количества цифр в дробной
части, либо до тех пор, пока не появится повторяющаяся
последовательность цифр.
Пример 10: Выполнить деление двоичного числа
1000 на двоичное число 11 в столбик с точностью до пяти
знаков в дробной части:
1000 | 11
11 10,10101
100
11
100
11
100
11
1
После сноса последнего нуля в промежуточный результат
получаем число 10, но оно не делится на 11, поэтому в
частное записываем запятую, отделяя тем самым целую и
дробную часть, а в промежуточный результат добавляем 0. |
