|
В математической логике для получения новых
высказываний, на основе имеющихся, используются
логические операции, свойства которых однозначно
определены. Основная задача математической логики
заключается в том, чтобы на основании истинности или
ложности простых высказываний определить истинность или
ложность составных высказываний.
Для организации составных высказываний из простых, чаще
всего используются логические связки «и», «или», «не»,
«…тогда и только тогда, когда…», «…в том и только в том
случае…», «если…, то…» .
Алгебра логики (алгебра высказываний) это раздел
математической логики, изучающий строение сложных
высказываний и способы определения их истинности с
помощью алгебраических методов.
Рассмотрим образование сложных высказываний с помощью
различных логических связок.
Конъюнкция. Пусть у нас есть два простых
высказывания
«Хорошая погода»
«Светит солнце»
Составим сложное высказывание, образованное из заданных
двух простых, в качестве объединяющего элемента в данном
высказывании используем логическую связку «и», получим:
«Хорошая погода и светит солнце».
Объединение двух и более простых высказываний в одно
составное высказывание с помощью союза «и» называется
операцией логического умножения или конъюнкцией.
Составное высказывание, образованное в результате
конъюнкции, истинно тогда и только тогда, когда истинны
все входящие в него простые высказывания.
Для обозначения операции конъюнкции используется
специальный символ - &, либо символ - /\.
Если в предыдущем примере первое простое высказывание
обозначить именем логической переменной – А, а второе,
именем логической переменной – В, то составное
высказывание
«хорошая погода и светит солнце»
на языке алгебры высказываний примет вид:
А&B или А/\В
Результатом составного высказывания так же может
являться либо истинна, либо ложь, что бы определить этот
результат можно воспользоваться таблицей истинности для
операции логического умножения (конъюнкции).
|
А |
В |
A&B |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Пример 1. Пусть А= «Два умножить на два равно
четыре», а В= «три умножить на три равно десять», тогда
составное высказывание «Два умножить на два равно четыре
и три умножить на три равно десять» будет ложным, так
как высказывание А является истинным, а высказывание В
является ложным, то по таблице истинности
A&B=0,
т.е составное высказывание – ложно.
Дизъюнкция. Операция логического сложения.
Объединение двух и более простых высказываний в одно
составное высказывание с помощью союза «или» называется
операцией логического сложения или дизъюнкцией.
Составное высказывание, образованное в результате
дизъюнкции, истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из
входящих в него простых высказываний.
Для обозначения операции дизъюнкции используется
специальный знак - \/.
Вернемся к нашим простым высказываниям по поводу погоды,
обозначим их логическими переменными, и после их
объединения с помощью союза «или» получим составное
высказывание.
А= «хорошая погода»
В= «идет дождь»
«хорошая погода или идет дождь»
На языке алгебры высказываний данное составное
высказывание запишется в виде:
А \/ В
Что бы определить результат этого составного
высказывания, т.е. определить истинно оно или ложно
прибегнем к таблице истинности для операции логического
сложения (дизъюнкции).
|
А |
В |
А \/ В |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
Вернемся к примеру 1, с умножением чисел, который мы
рассмотрели для операции логического умножения.
Пример 2. Пусть А= «Два умножить на два равно
четыре», а В= «три умножить на три равно десять», тогда
составное высказывание «Два умножить на два равно четыре
или три умножить на три равно десять» будет истинным,
так как высказывание А является истинным, а высказывание
В является ложным, то по таблице истинности
A \/ B=1,
т.е составное высказывание – истинно.
Из этого примера видно, что одни и те же простые
высказывания, объединенные разными логическими связками,
т.е. над ними выполнены разные логические операции, в
итоге дают разный результат: либо истинна, либо ложь.
Инверсия. Операция логического отрицания.
Присоединение частицы «не» к высказыванию называется
операцией логического отрицания или инверсией.
Логическое отрицание (инверсия) делает истинное
высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.
Операция логического отрицания обозначается в виде черты
над именем логической переменной. Для операции инверсии
таблица истинности имеет вид:
Если логическая переменная А= «На улице идет дождь», то
логическое отрицание этого простого высказывания: Ā= «На
улице не идет дождь».
Операция инверсии может быть применена как к простому
высказыванию, так и к составному, в этом случае, черта
обозначающая операцию логического отрицания проводится
над всем составным высказыванием.
Например: ____
A&B
 Кроме
базовых логических операций конъюнкции, дизъюнкции и
инверсии, достаточно часто применяются так же импликация
и эквиваленция.
Импликация. Операция логического следования.
Импликация или логическое следование образуется путем
объединения двух простых высказываний с помощью
логической связки «если …, то …». Например, «Если
идет дождь, то на улице пасмурно». В данном случае
простые высказывания «Идет дождь» и «на улице пасмурно»
объединены в составное высказывание с помощью указанной
логической связки.
Составное высказывание, образованное с помощью
операции логического следования (импликации), ложно
тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки
(первого простого высказывания) следует ложный вывод
(второе простое высказывание).
На основании этой формулировки можно составить таблицу
истинности для логической операции следования
(импликации).
|
А |
В |
А→В |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Как вы наверное уже поняли операция импликации
обозначается с помощью знака →.
Эквиваленция. Операция логического равенства.
Логическое равенство (эквиваленция) образуется путем
объединения двух простых высказываний в одно составное
высказывание с помощью логической связки «…тогда и
только тогда, когда …». Например, «Дождь идет тогда
и только тогда, когда на улице пасмурно». Для
обозначения операции эквиваленции применяют символ ↔.
Примем, что А= «Дождь идет» и В= «на улице пасмурно»,
тогда, приведенное выше составное высказывание на языке
алгебры логики запишется в виде:
А↔В
Для определения результата логического равенства (эквиваленции)
используют следующую таблицу истинности.
|
А |
В |
А↔В |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Согласно, приведенной таблицы истинности для логической
операции эквиваленция, можно сделать вывод о том, что
составное высказывание, образованное с помощью
логической операции эквиваленции истинно тогда и только
тогда, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны.
Пример 3. Пусть А= «Компьютер может производить
вычисления», В= «компьютер включен», тогда составное
высказывание «Компьютер может производить вычисления
тогда и только тогда, когда компьютер включен» будет
истинным, потому что оба простых высказывания истинны,
т.е. так как А=1 и В=1 получаем, что и А↔В=1. Применим к
логической переменной В операцию логического отрицания
(инверсию), получим, что
так как В=1, то ¬В=0, тогда А↔¬В=0
В словесной форме это составное высказывание примет вид:
«Компьютер может производить вычисления тогда и только
тогда, когда компьютер не включен».
Составное высказывание может быть образовано не только
из двух, но и из большего числа простых высказываний при
этом, естественно, и количество логических операций
будет уже несколько, к тому же, эти операции могут быть
разными. В этом случае возникает правомерный вопрос: в
каком порядке выполнять логические операции?
Логические операции выполняются в следующей
последовательности: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция,
импликация, эквиваленция. Для изменения порядка
выполнения операций, как и в математике используются
скобки.
|
